Mọi vành chia giao hoán đều là trường. Trong số những vành chia không giao hoán, ví dụ phổ biến nhất là vành quaternion H. Nếu ta chỉ cho hệ số hữu tỉ thay vì thực trong vành quaternion, ta được một vành chia khác. Nói chung, nếu R là một vành bất kỳ và S là một mô đun đơn (còn gọi là mô đun bất khả quy) trên R, thì theo bổ đề Schur, vành tự đồng cấu của S là một vành chia.[5]

Phần lớn đại số tuyến tính có thể được xây dựng và phát biểu sử dụng mô đun trên một vành chia D thay vì không gian vectơ trên một trường. Khi ấy ta phải xét mô đun trái hoặc phải và cần phân biệt chúng trong các công thức. Trong tọa độ, phần tử của mô đun phải hữu hạn chiều có thể được biểu diễn bởi vectơ cột và thực hiện phép nhân với scalar bên phải, với ma trận (biểu diễn ánh xạ tuyến tính) bên trái; ngược lại, với phần tử của mô đun trái hữu hạn chiều, ta có thể dùng vectơ dòng, rồi nhân scalar bên trái và với ma trận bên phải. Ma trận chuyển vị phải là trên vành chia đối Dop để quy tắc (AB)T = BTAT vẫn đúng.

Mọi mô đun trên vành chia đều tự do, tức chúng đều có cơ sở, và mọi cơ sở có của mô đun có số phần tử bằng nhau. Điều ngược lại cũng đúng, và có thể được dùng để định nghĩa vành chia bằng mô đun: Một vành có đơn vị R là một vành chia khi và chỉ khi mọi R-mô đun đều tự do.[6]

Ánh xạ tuyến tính giữa mô đun hữu hạn chiều trên vành chia có thể được mô tả bởi ma trận. Phép khử Gauss vẫn áp dụng được. Hạng của ma trận khi ấy là số chiều của mô đun phải sinh ra bởi các cột, hoặc là số chiều của mô đun trái sinh ra bởi các hàng; giống với không gian vectơ, ta có thể chứng minh chúng bằng nhau.

Tâm của vành chia có tính giao hoán và là một trường.[7] Mọi vành chia do đó là một đại số chia trên tâm của nó. Vành chia có thể được phân loại theo số chiều của chúng trên tâm là hữu hạn hay vô hạn. Mọi trường là một chiều trên tâm. Vành các quaternion tạo thành một đại số bốn chiều trên tâm, đẳng cấu với tập số thực.